** Tirage dans une urne

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

On considère une urne contenant \(7\) boules blanches et \(3\) boules rouges, indiscernables au toucher. On réalise l’épreuve aléatoire suivante : un joueur pioche au hasard une boule, il note sa couleur, puis la remet dans l’urne.

On considère les événements suivants :

• \(\text{R}\) : « la boule piochée est rouge » ;
• \(\text{B}\) : « la boule piochée est blanche ».

1. On décide de répéter successivement \(3\) fois cette épreuve aléatoire.
    a. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous représentant la situation de l’énoncé.

    b. Donner la probabilité d’obtenir au plus \(1\) boule rouge.
2. À l’issue des \(3\) tirages, le joueur gagne \(5\) euros pour chaque boule rouge obtenue, et il perd \(3\) euros pour chaque boule blanche obtenue.
On note \(X\) la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur en euros.
    a. Si on pioche deux boules rouges et une boule blanche, quelle est la valeur de \(X\) ?
    b. Compléter le tableau ci-dessous, donnant la loi de probabilité de \(X\). En déduire \(P(X\leqslant -1)\). Interpréter le résultat obtenu.​​​​​​

    c. Montrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\) est \(E(X)=-1{,}8\). Interpréter ce résultat.